Я давно пытался нарисовать в Illustrator'е правильную пятиконечную звезду, используя Star Tool и пытаясь подобрать на глаз ее внутренний и внешний радиусы.
Но получалась только приблизительная правильность.
Сегодня, когда мне снова понадобилась правильная пятиконечная звезда, я собрался с силами и просчитал ее.
И этим открыл для себя много нового.
Тем кому не терпиться узнать решение для Illustrator'а cюда
О фигуре "звезда" я особо ничего не знал, кроме того, что ее можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
А поскольку гуглить - это не спортивно, по пришлось изобретать все сначала.
Посмотрев на звезду, легко понять, что в нее вписан правильный пятиугольник.
С него я и начал. Polygon Tool, радиус 100 (для простоты) (на самом деле это не радиус, ширина! но ладно).
Теперь, чтобы получилась звезда, к каждой его стороне надо построить по равнобедренному треугольку.
Сделать это можно по формуле, следующей из теоремы косинусов, которая дает нам возможность узнать длину бедра, зная углы и длину основания.
Длину основания, которое равно длине стороны пятиугольника, достаточно просто посмотреть в Иллюстраторе (но и посчитать его было бы совсем не сложно) она равна 61.803.
Угол же равен 360° / 5 ( кол-во сторон пятиугольника ) = 72°.
Так что, следуя формуле, длина ребра получается:
a = 61.803 / 2*cos 72° = 61.803 / 0.61803 = 100!
Это было для меня откровением. Потому что оказалось, что длина ребра "луча" звезды равна ширине вписанного в нее пятиугольника!
Это просто магия цифр. Прочитайте еще немного, и вы поймете что это значит.
Теперь зная все стороны и углы можно построить этот треугольник двумя путями.
Я выбрал первый вариант.
А потом решил перепроверить вторым. И снова оказалась просто удивительная вещь — высота луча оказалась равно высоте пятиугольника!
На меня такие совпадения производят просто огромное впечатление, сказывается детское увлечение нумерологией.
Теперь когда у нас есть правильно построенный "луч", сделаем их пять штук и повернем под нужными углами (72°*номер треугольника).
Чтобы корректно приставить их к пятиугольнику, который у нас был с самом начала, я не придумал ничего проще, кроме как засунуть их внутрь пятиугольника и затем по одному вывернуть их наружу используя Flip Vertical и поворачивая всю конструкцию на 72° каждый раз.
Вставив все "лучи" внутрь пятиуголька можно наглядно убедиться в том, что ребро идеально ложаться внутрь, на своих пересечениях образуя маленькую правильную звезду.
Разворачиваем "лучи" наружу. Получилась правильная звезда с "радиусом" вписанного прямоугольника 100.
Теперь надо вычислись соотношение внутреннего и внешнего радиусов звезды. Внутренний мы задали сами, когда создавали внутренний пятиугольник - это 100. Чтобы узнать внешний, выделяем всю звезду и смотрим ее ширину - 261.803. И здесь снова попадается магия чисел!
Потому что по строению звезды видно, что ее ширина равна длине рёбер двух лучей (каждый по 100), а также длине основания луча.
Т.е внутренний радиус звезды равен длине ребра ее луча.
А внешний радиус звезды равен периметру ее луча.
А соотношение радиусов будет равно соотношению ребра луча к его периметру!
Не, ну не пипец?!
Получаем: R1 : R2 = 100 : 261.803
Теперь можно попытаться упростить эти числа.
Получилась вот такая таблица.
| Внутренний радиус | Внешний радиус |
|---|---|
| 100 | 261.803 |
| 2 | 5.235 |
| 4 | 10.47 |
| 8 | 21 |
Теперь чтобы построить правильную звезду в Иллюстраторе вам не нужно делать все вышеприведенные вычисления, а использовать Star Tool со значениями 8 и 21.
Удачи.
Вы дочитали до самого конца страницы.
