24.10.2009 Обновлена: 26.01.2011 #4

Как нарисовать в Illustrator`е правильную пятиконечную звезду.

О том, как нарисовать правильную пятиконечную звезду на бумаге читайте здесь ›››

Я давно пытался нарисовать в Illustrator'е правильную пятиконечную звезду, используя Star Tool и пытаясь подобрать на глаз ее внутренний и внешний радиусы.

Но получалась только приблизительная правильность.

Сегодня, когда мне снова понадобилась правильная пятиконечная звезда, я собрался с силами и просчитал ее.

И этим открыл для себя много нового.

Считаем звезду

Тем кому не терпиться узнать решение для Illustrator'а cюда

О фигуре "звезда" я особо ничего не знал, кроме того, что ее можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

А поскольку гуглить - это не спортивно, по пришлось изобретать все сначала.

UPD: а вот если б сначала погуглить, то можно было бы узнать как надо было.. Но это-таки скучно и не спортивно.

1. Внутренний пятиугольник

Посмотрев на звезду, легко понять, что в нее вписан правильный пятиугольник.

С него я и начал. Polygon Tool, радиус 100 (для простоты) (на самом деле это не радиус, ширина! но ладно).

Теперь, чтобы получилась звезда, к каждой его стороне надо построить по равнобедренному треугольку.

Сделать это можно по формуле, следующей из теоремы косинусов, которая дает нам возможность узнать длину бедра, зная углы и длину основания.

Длину основания, которое равно длине стороны пятиугольника, достаточно просто посмотреть в Иллюстраторе (но и посчитать его было бы совсем не сложно) она равна 61.803.

Угол же равен 360° / 5 ( кол-во сторон пятиугольника ) = 72°.

Так что, следуя формуле, длина ребра получается:

a = 61.803 / 2*cos 72° = 61.803 / 0.61803 = 100!

Это было для меня откровением. Потому что оказалось, что длина ребра "луча" звезды равна ширине вписанного в нее пятиугольника!

Это просто магия цифр. Прочитайте еще немного, и вы поймете что это значит.

2. Лучи

Теперь зная все стороны и углы можно построить этот треугольник двумя путями.

  1. нарисовать все стороны, повернуть их под заданными углами и склеить в треугольник.
  2. или тем, кому хочется потренироваться в геометрии, по теореме Пифагора можно высчитать высоту равностороннего треугольника и построить его при помощи Polygon Tool.

Я выбрал первый вариант.

А потом решил перепроверить вторым. И снова оказалась просто удивительная вещь — высота луча оказалась равно высоте пятиугольника!

На меня такие совпадения производят просто огромное впечатление, сказывается детское увлечение нумерологией.

Теперь когда у нас есть правильно построенный "луч", сделаем их пять штук и повернем под нужными углами (72°*номер треугольника).

Соберём всё вместе

Чтобы корректно приставить их к пятиугольнику, который у нас был с самом начала, я не придумал ничего проще, кроме как засунуть их внутрь пятиугольника и затем по одному вывернуть их наружу используя Flip Vertical и поворачивая всю конструкцию на 72° каждый раз.

Вставив все "лучи" внутрь пятиуголька можно наглядно убедиться в том, что ребро идеально ложаться внутрь, на своих пересечениях образуя маленькую правильную звезду.

Разворачиваем "лучи" наружу. Получилась правильная звезда с "радиусом" вписанного прямоугольника 100.

Соотношение радиусов: супер-магия чисел

Теперь надо вычислись соотношение внутреннего и внешнего радиусов звезды. Внутренний мы задали сами, когда создавали внутренний пятиугольник - это 100. Чтобы узнать внешний, выделяем всю звезду и смотрим ее ширину - 261.803. И здесь снова попадается магия чисел!

Потому что по строению звезды видно, что ее ширина равна длине рёбер двух лучей (каждый по 100), а также длине основания луча.

Т.е внутренний радиус звезды равен длине ребра ее луча.

А внешний радиус звезды равен периметру ее луча.

А соотношение радиусов будет равно соотношению ребра луча к его периметру!

Не, ну не пипец?!

Получаем: R1 : R2 = 100 : 261.803

Теперь можно попытаться упростить эти числа.

Получилась вот такая таблица.

Внутренний радиус Внешний радиус
100261.803
25.235
410.47
821

Решение для Illustrator'a

Теперь чтобы построить правильную звезду в Иллюстраторе вам не нужно делать все вышеприведенные вычисления, а использовать Star Tool со значениями 8 и 21.

UPD: Как надо было

Конечно, всего это можно было и не делать, поскольку есть сочетание клавиш, позволяющее нарисовать правильную звезду не меняя настройки. Достаточно было

Зажать Alt+Shift и потянуть мышкой, удерживая ее левую кнопку.

На маке это будет Option+Shift...

Вот и всё.

Ссылки по теме:

Удачи.

Вы дочитали до самого конца страницы.

comments powered by Disqus